El rincón de la Ciencia                       

nº 43,   diciembre de 2007

Las matemáticas en "La biblioteca de Babel" 

F. Quirós Gracián (Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid)


Página principal Teselaciones en el plano Combinatoria en la biblioteca de Babel El catálogo de todos los catálogos ¿Está la biblioteca contenida en un solo número? Números normales ¿Puede algo ser finito y sin embargo no tener límites?

¿Está la Biblioteca contenida en un solo número? Números normales

En algún anaquel de algún hexágono (razonaron los hombres) debe existir un libro que sea la cifra y el compendio perfecto de todos los demás: algún bibliotecario lo ha recorrido y es análogo a un dios.

¿Puede un libro contener todos los demás? En realidad sucede algo aún  más sorprendente. Todos los libros posibles (y no solo los de la Biblioteca , sino todos los de cualquier longitud finita posible) están codificados en un solo número.

Para escribir un texto en castellano (vale lo mismo para cualquier otro idioma) hace falta un cierto número, N, de caracteres. Hay que incluir mayúsculas y minúsculas, caracteres acentuados, signos de puntuación…  y, que no se nos olvide,  el espacio en blanco. Probablemente baste con menos de cien caracteres. Cada uno de ellos se puede representar mediante un número del 0 al N-1. Si sustituimos cada uno de los caracteres de un libro por el número que lo representa, obtenemos un número enorme que representa al libro completo.  Cualquier libro equivale así a un número natural, muy grande, pero finito. El número de Champernowne,

0.1234567891011121314151617...,

nombrado así en honor de D. G. Champernowne (1912- 2000), que se obtiene concatenando todos los números naturales en orden, contiene por tanto cualquier posible libro finito.

Los números decimales tienen un pequeño inconveniente en este tipo de traducciones. La traducción no es una biyección. La dificultad estriba en que no sabemos si 12 representa a los símbolos correspondientes al 1 y al 2 o si representa al símbolo correspondiente al 12. Pero esta es una pega menor. La ambigüedad se elimina representando a las letras en base N, donde N es el número de caracteres del idioma. Y podemos escribir un número equivalente al de Champernowne concatenando en orden todos los números naturales escritos en base N.

Planteémonos una pregunta más interesante. ¿Están todos los libros contenidos en algún número no construido ad hoc, por ejemplo en ? Si el número es normal, la respuesta es sí.

¿Qué es un número normal? Dicho de manera informal, es un número real cuyos dígitos (en cualquier base) muestran una distribución uniforme, siendo todos los dígitos igualmente probables, todos los pares de dígitos igualmente probables, todas las ternas de dígitos igualmente probables, etc. Como todas las secuencias de dígitos de una longitud dada aparecen con igual frecuencia, ¡tienen que aparecer infinitas veces! Así que un número normal, no solo contiene todos los libros, sino que los contiene infinitas veces.  

Pero, ¿hay números normales? Quizá algún lector haya pensado a estas alturas que el número de Champernowne es un número normal.  Se puede comprobar que sus dígitos decimales están uniformemente distribuidos, en el sentido que se explicó en el párrafo anterior. Pero podría no estar uniformemente distribuido en otras bases. Émile Borel (1871-1956) demostró en 1909 que casi todos los números son normales. Pero su prueba no era constructiva y hubo que esperar hasta 1917 a que  Waclaw Sierpinski (1882-1969) diera el primer ejemplo. Aún hoy, solo se ha probado la normalidad de unos pocos números concretos. Se sospecha que ,  e  y  son normales, pero todavía no se ha conseguido dar una prueba.