El rincón de la Ciencia                       

nº 43,   diciembre de 2007

Las matemáticas en "La biblioteca de Babel" 

F. Quirós Gracián (Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid)


Página principal Teselaciones en el plano Combinatoria en la biblioteca de Babel El catálogo de todos los catálogos ¿Está la biblioteca contenida en un solo número? Números normales ¿Puede algo ser finito y sin embargo no tener límites?

Teselaciones del plano

El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercados por barandas bajísimas.

¿Qué tienen de especial los hexágonos? Una de sus peculiaridades es que con ellos se puede recubrir, embaldosar o teselar el plano, algo que, como veremos enseguida, no se puede hacer con cualquier polígono regular.  

Queremos recubrir el plano con losetas (o teselas) poligonales. Una teselación (un recubrimiento del plano con teselas) se denomina regular si se utiliza un único tipo de polígono (un solo tipo de baldosa) y el número de baldosas que rodean cada vértice es siempre el mismo. Tales polígonos pueden ser regulares (en cuyo caso se hablaría de teselación regular mediante polígonos regulares) o no (por ejemplo, en un recubrimiento del plano con rombos).

Sea m el número de lados del polígono base de una teselación regular y n el número de polígonos que concurren en cada vértice. El famoso astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1751-1630), conocido sobre todo por haber descubierto las leyes que rigen el movimiento de los planetas, demostró el siguiente resultado.

Teorema.- Las únicas teselaciones regulares por polígonos regulares son las que tienen:

 m=3, n=6 (teselaciones con triángulos);

 m=4, n=4 (teselaciones con cuadrados);

 m=6, n=3 (teselaciones con hexágonos).

 

Demostración.- Los ángulos de un polígono regular de m lados tienen

180(m-2)/m

grados. Puesto que en cada vértice se encuentran n polígonos, se tiene que  180(m-2)n/m =360, es decir, la ecuación diofántica (una ecuación cuyas soluciones son números enteros)

(m-2)(n-2)=4.

Las únicas soluciones de esta ecuación son precisamente las del enunciado.

Si se mira un panal de abejas, se observa que está hecho a base de hexágonos regulares. Supongamos que la razón es que las abejas son animales muy organizados y que, por tanto, les gustan las teselaciones regulares por polígonos regulares. Entonces igualmente podrían haber utilizado (y también Borges para su Biblioteca) triángulos o cuadrados. Pero es que las abejas son, además de organizadas, muy ahorradoras. No les gusta usar más cera de la necesaria para fabricar sus celdillas, y la teselación hexagonal resulta ser la más económica. 

En efecto, es fácil comprobar que el cociente entre el cuadrado del perímetro y área vale 

Por consiguiente, fijada un área, el hexágono es, de estos tres polígonos, el que tiene menos perímetro, y por tanto el que requiere menos cera. Visto de otra forma, con una cierta cantidad de cera, de los tres polígonos considerados, el que permite conseguir mayor área para una celda es el hexágono.