El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 30 (Marzo-2005)

Las cónicas como lugares geométricos (RC-82)


I. Quirós 


Ya en la enseñanza primaria hemos conocido, prácticamente todos, que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de otro punto que es el que llamamos centro (C en el dibujo) de la circunferencia. Esa distancia que es siempre igual es lo que llamamos el radio de la circunferencia.

Para el resto de las curvas cónicas se pueden dar definiciones parecidas en las que intervienen distancias a puntos y a rectas. Vamos pues a ver como se definen.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la suma de los dos segmentos verdes (las distancias del punto a cada uno de los focos) es igual que la de los segmentos marrones y que la suma de los segmentos rojos. Esa suma de distancias que es siempre la misma, es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.

La hipérbola se define de una manera similar a la elipse, partiendo de las distancias a dos puntos llamados focos, solo que en este caso lo que es siempre igual es la diferencia de las distancias en lugar de la suma. En el dibujo se puede ver que la diferencia de las líneas amarillas es igual que la diferencia entre las líneas rojas e igual que la diferencia entre las líneas verdes.

Por último nos queda la definición de la parábola. En este caso se parte de un solo punto, que es el foco, y de una recta que se llama directriz. La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco es igual que la distancia a la recta directriz. Aquí se puede ver como los dos segmentos naranjas miden lo mismo, siendo una la distancia de un punto de la parábola al foco (F), y el otro la distancia a la recta directriz (d). Lo mismo ocurre con los segmentos amarillos y los segmentos verdes, que representan lo mismo pero para otros puntos de la parábola.