El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 30 (Marzo-2005)

La elipse y la parábola en la Física (RC-79)


Carlos Macho  IES Mateo Alemán, Alcalá de Henares


“Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol” (Primera Ley de Kepler, 1609).

En la Física, la elipse y la parábola aparecen en muchas leyes importantes. Es, quizá, en la Mecánica (parte de la Física que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos sometidos a cualquier fuerza) en donde la encontramos de forma más inmediata.   

 En el Universo, el movimiento más frecuente de estrellas, planetas, satélites, etc. es el  descrito mediante trayectorias elípticas (la circunferencia es un caso particular de elipse). Esto es así porque, a grandes distancias y para objetos sin carga eléctrica neta importante, la fuerza principal que gobierna este movimiento es la Fuerza Gravitatoria.

 Fue el gran físico y matemático Isaac Newton (1642-1727) quien formuló la Ley de la Gravitación que explica los movimientos de los planetas y satélites en el Sistema Solar . Esta ley reúne las tres leyes de Kepler en una sola:

  en donde: F = fuerza de atracción, 
G = la constante de gravitación universal, 
M y m = las masas del Sol y el planeta y 
R = la distancia al foco de la elipse, ocupado por el Sol.

Como su nombre indica, esta ley es válida en cualquier parte del Universo, y rige el movimiento entre dos cuerpos cualesquiera de masas M y m.  No podemos decir, sin embargo, que los cuerpos, sometidos a esta ley, siempre vayan a moverse describiendo trayectorias elípticas. En primer lugar, si son más de dos los cuerpos cuyas fuerzas de atracción interactúan, el movimiento puede ser extremadamente complicado. Pero además, depende de otras magnitudes físicas: como la energía.

 Supongamos que sólo son dos los cuerpos, uno de ellos con mucha más masa que el otro; como pueden ser: el Sol y la Tierra o la Tierra y un satélite artificial.

 Fijémonos, para ilustrar lo anteriormente dicho, en el sistema formado por la Tierra y un satélite artificial y analicemos como es la  trayectoria seguida por el satélite alrededor de la Tierra  dependiendo de la energía.

Recordemos que hay dos tipos de energía mecánica: la potencial y la cinética. En nuestro caso, la energía potencial del sistema Tierra-satélite (energía debida a la posición) es:  
y su energía cinética (debida a la velocidad) es:

en donde v es la velocidad lineal del satélite. 
La energía total del satélite es la suma de las dos:

Si la Ec es menor -en valor absoluto- a la Ep, entonces la Et es negativa; ello quiere decir que el satélite no tiene la suficiente velocidad como para separarse de la Tierra, su trayectoria será, entonces, una curva cerrada: una elipse.

Si la Ec es igual a la Ep -en valor absoluto-, la elipse pasa a ser una parábola; ello quiere decir que el satélite tiene la velocidad justa para abandonar la Tierra para siempre.

Si Ec es mayor -en valor absoluto- que la Ep, entonces, la trayectoria sería una hipérbola, el satélite viajaría hacia el infinito.

  No hace falta salir al espacio para observar a la elipse y a la parábola como trayectorias que sigue un cuerpo. El físico italiano Galileo (1564-1642) descubrió la ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola. Esto es así porque el movimiento de dicho objeto puede descomponerse en dos: uno horizontal y otro vertical -también descubierto por Galileo-, el horizontal sigue con velocidad constante mientras que el vertical sigue la ley: v = g·t, siendo g la constante de la gravedad (9,8 m/), t, el tiempo y v, la velocidad.

Sumando los dos movimientos -diríamos mejor componiendolos- obtenemos en la relación entre las coordenadas cartesianas x e y la ecuación de una parábola
 del tipo:
más exactamente:

Claro que si lanzamos el objeto con tanta fuerza que la altura que alcanza es importante, entonces, g, deja de ser constante y, entonces,  tenemos que utilizar la Ley de la Gravitación de Newton, si no queremos cometer un error apreciable; de manera, que volvemos a obtener, nuevamente, una elipse en la trayectoria.

Parábolas

Ahora, detengámonos un poco más en la parábola. Nos la encontramos, sobre todo, en  ciertos fenómenos interesantes de reflexión: del sonido, de ondas electromagnéticas y de la luz, como caso particular de onda electromagnética. Pero aparece también en la Mecánica. Veamos algunos ejemplos:

La parábola es la curva que adopta un cable que tenga que soportar una carga, un peso, uniformemente distribuido, véase el puente de San Francisco: El Golden Gate.

La catenaria es la curva que adopta un cable sostenido por sus extremos debido a su propio peso. Por otro lado, la curva que adopta el cable es una parábola cuando, despreciando  su propio peso, es una carga uniformemente distribuida  la que soporta. En el puente colgante, los cables, además de su propio peso, tienen que soportar el de la plataforma. Por ello, la forma exacta que adoptan  los cables es una "combinación" de la catenaria y la parábola. La diferencia entre ambas curvas es muy pequeña. De hecho, los ingenieros suponen en sus cálculos que es una parábola, dada la simplicidad de su ecuación frente a la ecuación de la catenaria.

Parábolas y pantallas parabólicas

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta (directriz, perpendicular al eje de simetría) y de un punto (el foco, que se encuentra situado en el eje de simetría de la parábola).

La característica principal en la reflexión de una onda, sea de sonido o electromagnética (de luz) en una superficie parabólica (superficie generada al girar la parábola sobre su eje de simetría) es que todos los rayos que parten del foco salen paralelos al eje de la parábola (eje de simetría); y viceversa, los rayos que incidan paralelos al eje convergerán en el foco.

Las aplicaciones de la propiedad citada anteriormente son muchas; dos muy importantes son:

    Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación, tienen forma parabólica para, así, concentrar las débiles señales que le llegan en el foco.

   Los telescopios reflectantes, llamados de Newton, se construyen con un espejo parabólico en cuyo plano focal se forma la imagen invertida del cielo.

 

También, es la causa de que las superficies reflectantes de los faros de los automóviles sean paraboloides.

Otras elipses 

La elipse aparece  en otras leyes de la Mecánica, además de las que se presentaban al principio del artículo, quizás no tan importantes o conocidas. La  comprensión de tales leyes  requiere del conocimiento de ciertos conceptos y magnitudes físicas: momentos de inercia, momento angular, velocidad angular, frente de ondas, etc.. Citaré, brevemente, algunos ejemplos.

Elipses en el movimiento armónico simple

Uno de los movimientos más importantes en la Naturaleza es el movimiento armónico simple (MAS), que es un movimiento periódico, oscilante, en torno a un punto, centro de oscilación. Por ejemplo: una masa colgando de un resorte. Si estiramos el resorte y luego lo soltamos, la masa empezará a subir y a bajar en un MAS. En este fenómeno, nos encontramos a la elipse en la representación del movimiento en el espacio de las fases, es decir, en la representación de la velocidad del peso (eje Y) frente al espacio recorrido respecto al centro de oscilación o de equilibrio (eje X)

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Elipse de inercia en el sólido rígido

    En el estudio del sólido rígido aparece la llamada”Elipse de Inercia”. Supongamos una placa a la que podemos hacer girar en torno a ejes de rotación contenidos en la misma placa y que pasan por su centro de masas (o centro de gravedad, c.d.g.). Los puntos sobre los distintos ejes y cuya distancia al  centro de masas es inversamente proporcional al cuadrado de su momento de inercia forman una elipse, la “Elipse de Inercia”. Esta elipse es muy importante para determinar la resistencia de los materiales (vigas, etc) a la flexión. Una barra es más resistente a la flexión en la dirección del eje mayor de la elipse de inercia de su sección transversal.
Las flechas representan la carga sobre la viga

Elipsoides de revolución

El elipsoide es un cuerpo generado por la revolución de una elipse en torno a uno de sus  ejes: el mayor o el menos; exagerando un poco, diríamos que es la elipse en tres dimensiones. Pues bien, el elipsoide es el lugar geométrico que recorre el extremo del vector velocidad angular en la rotación de un cuerpo libre de fuerzas externas (o con fuerzas solamente aplicadas en su centro de masas) en  torno a un eje que no sea eje principal. Por ejemplo, un balón de rugby cuando se encuentra en el aire, después de haberle dado un puntapié; o nuestro planeta Tierra, en su movimiento de rotación.Si la Tierra fuera una esfera perfecta no habría ningún movimiento de precesión de w, pues cualquier eje de giro sería un eje principal, pero en la realidad no lo es. 

Elipsoides en óptica

    Encontramos, también, al elipsoide en la Óptica, en el estudio del fenómeno de la “Doble Refracción”. Ciertos cristales: el cuarzo, calcita, presentan esta propiedad. En ellos, la luz se refracta en dos direcciones diferentes; de manera que el rayo de luz incidente se desdobla en un rayo ordinario (O) y otro extraordinario (E). El frente de onda del rayo extraordinario forma un elipsoide dentro del cristal, o una elipse en el plano de incidencia

 

Junto con la línea recta y la circunferencia, la elipse y la parábola son de las curvas geométricas con expresión analítica más simple. Si es cierto que la Naturaleza  actúa con sus leyes de la forma más simple posible, entonces, no es extraño que nuestras protagonistas: la elipse y la parábola, aparezcan tanto en su estudio, en la Física.