El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 26 (mayo-2004)

Pixeleen: Imágenes finitas (RC-70)


J. Pérez-Piñar


Los motivos

Existió una vez, cuenta la leyenda, un terreno en la Tierra sin igual, espléndido en parajes, valles, montañas a cuál más hermosa e impresionante, con ríos caudalosos entre bosques idílicos, donde la belleza de los paisajes sólo se podía comparar a un paraíso terrenal. Esta isla fabulosa se conoce por el nombre de Atlántida. Aún no se tienen pruebas fehacientes de su existencia. Según Platón, en sus obras Critias y Timeo, donde aparecen relatos de sus habitantes, la isla sucumbió repentinamente ante un cataclismo, pero se desconoce la verdad de todo esto. De todos modos, es posible ver imágenes de esa isla, si es que existió alguna vez.

Si de visita por París decidimos admirar las obras expuestas en el museo de Louvre, encontraremos una imagen impresionante: el cuadro Coronación de Napoleón, de David. Impresiona el tamaño del lienzo, el detalle con el que el pintor cuida los rostros de las personas, el conjunto equilibrado, la atmósfera de grandeza que se vivió en esos solemnes momentos,... El artista supo plasmar todo ello con rigor y belleza. De todos modos, aunque no existiese la cámara fotográfica, es posible ver imágenes reales de la Coronación de Napoleón.

El mundo de la física ha sufrido revoluciones conceptuales muy a menudo. En los grandes logros, la teoría del autor o autores, siempre ha estado acompañada de una fórmula estandarte, de un resumen sencillo de todas las nuevas ideas. Newton, quien explicó la ley de gravitación universal, se estudia en los primeros cursos de física elemental como fuerza igual a masa por aceleración, F = m · a. Más célebre puede ser, en la teoría de la relatividad de Einstein, la fórmula de energía igual a masa por la velocidad de la luz al cuadrado, E = m · c2. ¿Qué próximas fórmulas describirán los avances físicos del futuro? Es posible verlas actualmente.

Para ver estas imágenes de la Atlántida, Napoleón, la física, y muchas más, podemos valernos de un sencillo monitor de ordenador. En él, cada punto o píxel o "unidad mínima de dibujo" es un conjunto de tres colores distintos que, según su intensidad, otorgan al punto un color determinado. Si agrupamos varios puntos de estos, formamos las imágenes. ¿Cuántas imágenes distintas puede mostrar un monitor, o un televisor? En principio podríamos pensar que infinitas, todas aquellas que podemos ver, se pueden enmarcar en un monitor, siempre y cuando éste tenga las condiciones técnicas de color y definición suficientes. No es cierto, no son infinitas.

El proceso

El programa a usar es sencillo. Se trata de dibujar, una a una, todas estas imágenes posibles. Primero las de un punto con un color, luego con otro color, y así sucesivamente hasta dibujar todas las imágenes de un punto de todos los colores posibles y en todas las posiciones del monitor. Luego con dos puntos repitiendo la misma operación. Luego tres puntos. El proceso acabará cuando se realicen las combinaciones de todos los puntos que caben en un monitor. Está claro que de esta manera obtendremos todas las imágenes posibles que un monitor puede mostrar, por ejemplo, vistas de la Atlántida, de sus playas o de sus rincones más bellos, casi inimaginables, fotografías de Napoleón en su coronación, con distintos trajes, entre los cuales estaría el que usó de verdad, con distinto público, entre el cual podemos estar nosotros vestidos como lo hacemos actualmente, imágenes de las fórmulas que en el futuro describirán las nuevas teorías, y un sinfín de posibilidades que la imaginación puede crear, por ejemplo, todos los textos de las novelas antiguas y de las que aún no están escritas... escritos a mano con la caligrafía, por ejemplo, del lector; imágenes del lector escribiendo estas novelas, en el despacho de Napoleón, con éste posando... o tocando una guitarra eléctrica. Y no simples bocetos, sino ¡fotografías de todo ello!

El cálculo

Estimemos el número posible de imágenes de un monitor. En una buena pantalla, la definición es de 600 por 900 píxeles. Esto es, algo más de medio millón de puntos, que conforman las imágenes que por él se pueden mostrar. El número de posibles variaciones y combinaciones de la situación de los puntos, primero de uno, luego de dos, etc. se calcula mediante la factorial. Calcular la factorial de medio millón no es sencillo. La operación

500.000 · 499.999 · 499.998 · ... · 3 · 2 · 1

puede ser algo más que dificultosa de realizar. De todos modos, una solución estimativa para este problema puede ser la siguiente: podemos agrupar por orden de magnitud, tendiendo siempre al valor alto, para poner una cota máxima al número resultante. Es decir, de 500.000 a 100.000 hay 400.000 números, del orden de magnitud de 1.000.000, acotando por el máximo. Su producto será

1.000.000 · 1.000.000 · ... 400.000 veces, esto es 1.000.000400.000 que es, 102.000.000

Repetimos el mismo proceso para los valores de 100.000 a 10.000, de 10.000 a 1.000, de 1.000 a 100, de 100 a 10, y por último, de 10 a 1. Tenemos el producto de seis números:

102.000.000 · 10360.000 · 1027.000 · 101.800 · 10154 · 107

Sumamos los exponentes y obtenemos que la factorial de medio millón debe ser menor de 102.400.000

Ahora incluimos en el cálculo que cada punto puede tener distintos colores. Cada color se forma por la distinta intensidad de los tres componentes de cada píxel. En un monitor con alta definición, color verdadero, aproximadamente existe una gama de 16 millones de colores por cada punto. Esto significa, que el número de imágenes que un monitor de estas características puede mostrar debe ser menor de

(102.400.000)16.000.000 » 10150.000.000.000.000.

Las conclusiones

Este número, un uno seguido de 150 billones de ceros, es prácticamente inalcanzable. No existen árboles suficientes en la Tierra para extraer papel donde escribirlo, ni ha tenido tiempo la humanidad en su existencia de escribirlo (si desde hace 2 millones de años todos los seres humanos hubiésemos dedicado nuestras vidas a escribir ceros... aún no estaría escrito). Merece un nombre adecuado, tal vez Pixeleen. Un pixeleen es ese uno seguido de 150 billones de ceros. No faltará quién diga que este número no es exactamente el infinito pero en la práctica se puede tratar como tal. Sin embargo, no son estas estimaciones las conclusiones más importantes, el hecho importante es la finitud del número de imágenes posibles que pueden existir. Este estudio, realizado para un monitor puede hacerse para cualquier otro sistema, una hoja de papel, el ojo humano,... De este modo, lo que sorprende en cierta medida es el hecho de que no seamos capaces de ver "cualquier cosa". De momento, por una pantalla de ordenador "sólo" podremos ver un pixeleen de imágenes distintas.

No obstante, es muy posible que la mayoría de esas 10150.000.000.000.000 imágenes distintas sean ruido o imágenes distorsionadas (por ejemplo, la foto de Napoleón con una mota de polvo, o las famosas "moscas de la tele" en todas sus posibles posiciones, o la mitad de la pantalla con ruido y en la otra una imagen con información, etc.). El número de imágenes de interés debe ser menor, mucho menor. Sería interesante elaborar un Sistema de Producción de Imágenes consistente en unos supercomputadores generadores de todas las posibles combinaciones de los puntos, tras los cuales se intercalan unos filtros con parámetros variables que permitan el paso exclusivamente a aquellas imágenes que puedan contener información (reconocedores de caracteres escritos, de formas, de repetición de imágenes, etc.). Tal vez, el número de imágenes ahora sería mucho menor y sí sería posible plantearse observarlas por personal cualificado que seleccionara las más interesantes para estudios posteriores. ¿Algo descabellado? Ahí están las respuestas a todos los problemas del ser humano que admitan una solución escrita o gráfica, incluidas las fotografías del paraíso de la Atlántida.