El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 24 (Diciembre-2003)

Aquiles, la tortuga y la flecha  (RC-64)


Ignacio Quirós Gracián  
IES Victoria Kent (Torrejón de Ardoz, Madrid)


Hace un tiempo, en la sección Preguntas y respuestas de esta revista apareció la siguiente pregunta enviada por un lector:

Disparamos una flecha contra una pared desde un punto de partida situado a una distancia D de la pared. Cuando la flecha se encuentre a la mitad de su recorrido hacia la pared, la distancia que le quedará por recorrer será D/2.Tomando el punto D/2 como nuevo punto de partida, en algún momento, la flecha estará situada, de nuevo, a la mitad de la distancia que le queda por recorrer, es decir (D/2)/2 = D/4. Y así sucesivamente, podemos ir dividiendo la distancia que queda por recorrer en infinitas mitades. Si las divisiones que podemos hacer son infinitas, la flecha no debería llegar nunca a la pared. Sin embargo, sabemos que llega. ¿Por qué?

La cuestión propuesta es similar la conocida paradoja de Aquiles (el de los pies ligeros) y la tortuga que ya planteó Zenón, uno de los más célebres pensadores griegos, en el siglo V antes de Cristo y que, más o menos, dice así:

Aquiles echa una carrera a una tortuga. Como Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga, le da a esta una ventaja de 10 km. Hagamos el siguiente razonamiento: Cuando Aquiles haya recorrido los 10 km que le separaban de la tortuga, esta habrá recorrido 1 km. A continuación, cuando Aquiles haya recorrido ese kilómetro, la tortuga habrá recorrido 100 m. Cuando Aquiles haya recorrido esos 100 m, la tortuga habrá recorrido 10 m. Y así sucesivamente e infinitamente, por lo que ¡¡Aquiles nunca alcanzará a la tortuga!!

La diferencia está en que en el primer caso la meta está quieta, mientras que en el segundo está en movimiento. En ambos casos el error está en considerar que la suma de infinitas cantidades da siempre una cantidad infinita. Hay muchas sumas de infinitos términos cuyo resultado es finito. Esto ocurre con las progresiones geométricas de razón menor que uno que son los dos casos que nos ocupan.

Hagamos la suma de las distancias recorridas por Aquiles, la tortuga y la flecha:

Aquiles
Tortuga
Flecha

Sacando factor común y haciendo algunas cuentas tenemos:

El caso de la tortuga es similar obteniendo como resultado 1,11... ¡¡10 km menos!!

Para la flecha obtenemos: 

Vemos también que las infinitas sumas tienen un límite y ese límite es precisamente la distancia total. Conclusión: la flecha alcanza la pared.

¿Y el tiempo que tarda en hacerse los recorridos?

Pues ocurre lo mismo. Si sumamos los tiempos que se tarda en recorrer cada trocito, nos vuelve a salir una suma de infinitos tiempos que de nuevo el total el finito puesto que también es una progresión geométrica de razón menor que uno. Así Aquiles tardará un tiempo finito en alcanzar a la tortuga (suma de infinitos trocitos cada vez más pequeños) pasado el cual la empieza a sacar distancia. Y nuestra flecha tardará también un tiempo finito en recorrer esas infinitas distancias que la llevan a la pared. Pero las cuentas con los tiempos las dejamos para el lector.