El rincón de la Ciencia nº 19 (Diciembre-2002)
Simulando el comportamiento caótico  (RC-49b)


José Antonio Martínez Pons
, IES Las Lagunas (Rivas-Vaciamadrid)


En el artículo El caos y la física hemos visto en qué consiste el comportamiento caótico de un sistema, aquí vamos a mostrar algunos ejemplos que pueden ilustralo.

Se pueden simular muy fácilmente situaciones de caos mediante una hoja de cálculo o, simplemente, con una calculadora. Aquí te mostarmos cómo puedes hacerlo fácilmente.

Pero primero vamos a ver qué entendemos por iterar una función matemática. En matemáticas se llama iterar una función a utilizar el resultado de un paso como variable del paso siguiente, formalmente escrito yn= f(x) ; yn+1 = f(yn).

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Desde un punto de vista práctico puede iterarse la función coseno en la calculadora del modo siguiente:

  • Se pone esta en modo radian
  • se toma un valor cualquiera, por ejemplo 0,5  (o cualquier otro excepto el cero)
  • se aprieta sucesivas veces la tecla cos

Aparece una serie que, al llegar a unas 50 iteraciones (pulsaciones de la tecla), se obstina en el número 0,739085133. La serie coseno converge en la iteración.

Ejemplo 2

Si se repite la operación con la tecla 1/x, la secuencia desemboca en dos números también obstinados, 0,54321 y 1,840908673. Aquí la recurrencia es periódica de periodo 2.

Ejemplo 3

Puedes experimentar con distintas teclas. En algunos casos la función crece rápidamente hasta un mensaje de error (es el caso de ex o 10x); en otros no sigue ninguna pauta, pero parece como si se atascara en torno a cierto valor (por ejemplo, en el caso de tan); en otras sin embargo aparece o bien convergencia o bien periodicidad.

Ejemplo 4

Si se itera una ecuación por ejemplo la ecuación y = 2x2 –1 se inicia la iteración por el número 0,54321 y se repite por empezando por el número 0,54322 se observará como rápidamente las trayectorias de ambas series, que se parecen, dan unas graficas completamente impredecibles.

Figura: Iteración de la ecuación  y = 2x2 –1. (Serie 1: 0,54321; Serie 2: 0,54322)

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Vemos que aparece el caos.

Ejemplo 5

Puede ahora ensayarse  cambiando  el “2” de la ecuación y = kx2 –1 por otros valores, por ejemplo k = 1,4 con este valor y empezando en  x = 0,5 al cabo de unos cuantos valores un tanto erráticos aparece un ciclo de orden   16, para 1,74 el caos es  total, sin embargo para 1,75 reaparece el orden, la serie se estabiliza en tres valores (dos muy próximos).

K = 1,4

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K = 1,74

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K = 1,75

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He aquí una de las características de los sistemas caóticos, de repente se reorganizan y dentro de un mundo caótico aparecen ventanas de orden.