El rincón de la Ciencia nº 17 (Julio-2002)
Reflexiones sobre el modelo de Böhr  (RC-48)


J. A. Montiel Tosso,
I. E. S. Antonio Galán Acosta de Montoro (Córdoba)


RESUMEN

El modelo de Böhr constituye el primer modelo cuántico que describe la estructura del átomo de hidrógeno utilizando las nuevas ideas de la física moderna. Incorpora la teoría de Planck con objeto de describir el movimiento del electrón en torno al núcleo de hidrógeno (protón) y logra explicar sus líneas espectrales satisfactoriamente. Se obtienen unos resultados para el radio y la energía de las posibles órbitas que dependen de un número cuántico n, cuyos valores, exclusivamente enteros, a su vez hacen que tanto el radio como la energía estén cuantizados, es decir, sólo les permite adoptar determinadas soluciones.

Resulta interesante la relación entre los resultados ofrecidos por el modelo de Böhr y la fórmula de De Broglie, que unos diez años más tarde expresó la dualidad onda-partícula, idea subyacente en la descripción del mundo atómico y uno de los pilares fundamentales de la mecánica cuántica.

INTRODUCCIÓN

Era evidente que el modelo atómico de Rutherford (1911) no lograba convencer a la comunidad científica a pesar de que todos aplaudían su enorme aportación. Él nos llevó a un concepto de átomo en el que predominaba el espacio vacío, pues la mayor parte del mismo lo integraba la corteza o zona donde se desarrollan las órbitas (circulares) electrónicas, lo cual rompía con la idea anterior de Thomson. Sin embargo, todos sabían que el átomo de Rutherford era físicamente inestable, pues no era posible imaginar una carga girando en torno a otra sin pérdida de energía y mucho menos entender el espectro del átomo de hidrógeno.

Después del impacto que la teoría cuántica de Planck causó en el año 1900, el danés Niels Böhr, apreció su utilidad a la hora de interpretar la emisión y la absorción de energía a escala atómica. Basó su modelo en unos sencillos postulados de los cuales derivó las expresiones de los radios y las energías de las órbitas electrónicas y aplicó la ecuación de Planck para calcular los cambios energéticos asociados a las transiciones o saltos del electrón cuando se mueve desde una órbita a otra.

POSTULADOS DE BÖHR

El modelo de Böhr para el átomo de hidrógeno (1913) se construye a partir de dos postulados:

  1. El electrón gira en torno al núcleo, sin perder energía, en órbitas circulares que cumplan la condición de que el momento angular del electrón sea un múltiplo entero de la constante de Planck:
  2. donde m es la masa del electrón; v, su velocidad; R, el radio de la órbita; h, la constante de Planck y n = 1, 2, 3, 4....

  3. El átomo sólo emite o absorbe energía cuando el electrón pasa de una órbita a otra inferior o superior, respectivamente. La energía emitida o absorbida en forma de radiación electromagnética (líneas espectrales) es igual a la diferencia de energía entre ambos estados (órbitas) y viene expresada por la fórmula de Planck:

siendo E1 y E2 las energías de las órbitas inicial y final entre las que se produce la transición, h la constante de Planck y f la frecuencia de la radiación emitida o absorbida.

RADIO Y ENERGÍA DE LAS ÓRBITAS

Recordemos que el electrón se considera una carga puntual e = –1,6·10-19 C, que gira en trayectorias circulares de radio R, con velocidad uniforme v, alrededor del protón, otra carga puntual del mismo valor absoluto aunque de signo positivo.

En este movimiento de rotación, la fuerza normal ha de ser precisamente la fuerza de atracción eléctrica entre el electrón y el núcleo:

de donde

Llevando a la fórmula anterior el valor de v dado por el primer postulado y simplificando obtenemos los posibles valores para el radio de las órbitas, que dependen del número cuántico n:

(1)

Por otro lado, la energía del electrón se deduce sumando sus energías cinética y potencial eléctrica:

Sustituyendo v de la expresión del primer postulado y R de la ecuación (1) llegamos a:

(2)

Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2) las constantes m, e, h y K, resulta:

Como decíamos, esas expresiones muestran que tanto el radio de las órbitas como su energía se hallan cuantizados.

Así, para determinar la energía de la transición electrónica desde la órbita de radio R1, obtenido con n = 1, hasta la R2, con n = 2, basta hallar E2 – E1, haciendo previamente n = 1 y n = 2 en la expresión de E.

RELACIONES CON LA ECUACIÓN DE DE BROGLIE

Louis de Broglie propuso que todas las partículas, incluyendo al electrón, en su movimiento poseen asociada una onda, cuya longitud de onda es:

(h es la constante de Planck; m, la masa y v, la velocidad de la partícula).

En ello consiste la hipótesis de la dualidad onda-corpúsculo, admitiendo que toda partícula subatómica, como el electrón, presenta una doble naturaleza, de onda y de materia, ofreciendo en cada circunstancia experimental una de ambas y nunca las dos al mismo tiempo (principio de complemetariedad).

Pues bien, si suponemos que el electrón en su movimiento alrededor del núcleo del átomo de hidrógeno no cambia de órbita –y no pierde energía–, se le puede asociar una onda estacionaria de manera que su longitud de onda debe cumplir la condición:

                (n = 1, 2, 3...)

ya que la longitud de la trayectoria del electrón tiene que ser un múltiplo de la longitud de onda de la onda asociada.

Si en la fórmula anterior sustituimos la longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie, tendremos:

Y, moviendo términos, llegamos fácilmente a la expresión del primer postulado:

Por otra parte, si partimos de la ecuación del segundo postulado, , y recordamos la equivalencia masa-energía dada por Einstein, llegamos a:

O bien:       

Y puesto que la frecuencia se relaciona con la longitud de onda por:            

Tendremos:       ,       es decir,        ,       que es la ecuación de De Broglie aplicada a un fotón, donde p es su cantidad de movimiento.

CONSIDERACIONES FINALES

Mediante unos sencillos cálculos algebraicos hemos establecido unas interesantes relaciones entre las ecuaciones de Böhr y la de De Broglie. Con esto se pretende mostrar no sólo la permanente interrelación entre los conceptos cuánticos sino la importancia de los postulados del físico sueco, que consciente o inconscientemente, llevaban implícita la idea de la naturaleza dual de la materia.

La exigencia matemática, por decirlo de un modo gráfico, de la hipótesis onda-partícula, nos consuela, en cierto modo, de la dificultad conceptual que supone imaginar este fenómeno, idea central en el desarrollo de la mecánica cuántica y clave en el estudio de las interacciones que afectan a las partículas fundamentales.