El rincón de la Ciencia nº 11 (Abril-2001)
Movimientos armónicos (RC-28)

M.A. Gómez y C.Macho


muelle.gif (29143 bytes)Cinemática del m.a.s.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los  puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional) podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un movimiento circular uniforme (m.c.u.). Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., lo que nos va a permitir deducirnos sus ecuaciones a partir del movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es armónico simple). Puede verse el ejemplo en la figura siguiente

mcuani.gif (26359 bytes)

 

Pero, pongamos atención, el movimiento armónico es el del punto que vemos moverse sobre el eje vertical (sube y baja). El movimiento circular de la partícula que da vueltas alrededor de la circunferencia, aunque es un movimiento periódico, no es un movimiento armónico. Sin embargo, ambos movimientos están directamente relacionados, puesto que uno genera el otro. Esta circunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente una ecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con el movimiento circular auxiliar.

Veamos cómo. La figura 1, representa lo que hemos visto en el gráfico animado anterior. En ella pueden verse lo que significa cada una de las variables que hemos definido.

 

FIGURA 1:

Movimiento armónico simple

mcu.gif (3508 bytes)

 

Y = elongación

Representa la distancia que separa a la partícula vibrante de la posición de equilibrio en cualquier instante. Físicamente, la elongación representa el estado de vibración de la partícula en cualquier instante.
A = amplitud Representa el máximo valor que puede tomar la elongación.
Fo = fase inicial Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar.
w = pulsación Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Es una constante del m.a.s.
F = w.t + Fo

fase

Representa la posición angular de la partícula, en el m.c.u. auxiliar, para tiempo t.

La elongación de la partícula para un tiempo t viene dada por el seno del ángulo que nos da la posición de la partícula del m.c.u.

y = A.sen(w.t + Fo)   

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s. Como puede verse, la elongación es una función periódica del tiempo y el máximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya que el valor del seno oscila entre los valores +1 y -1.

Al igual que en cualquier otro movimiento, la velocidad de una partícula sometida a un m.a.s. vendrá dada por la derivada con respecto al tiempo de la función y

v = dy/dt = A.w cos (w.t + Fo)  

donde observamos que la velocidad es también función periódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, la velocidad toma su máximo valor cuando la fase es cero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en los extremos el ángulo de fase es 90º  y 270º, por ello la velocidad es nula.

puedes obtener más información en representaciones gráficas

Análogamente, derivando en la expresión de la velocidad, obtenemos el valor de la aceleración

a = dv/dt = - A.w2 sen (w.t + Fo)   

que teniendo en cuenta el valor de la elongación y se convierte en

a = - y.w2   

en la que observamos que la aceleración en un m.a.s. es directamente proporcional a la elongación cambiada de signo. Lo que nos lleva a que la aceleración de la partícula sometida a un m.a.s. es, también, función periódica del tiempo, resultando máxima cuando se encuentra en la posición más alejada del punto de equilibrio, mientras que en este la aceleración es nula. El signo "menos" nos indica que el m.a.s. es un movimiento acelerado hacia el centro de oscilación (la partícula acelera cuando se dirige hacia la posición de equilibrio).

puedes obtener más información en representaciones gráficas

 

Período y frecuencia en el m.a.s.

Período es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. Dicho de otra forma, es el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa. Esto ocurre cuando pasa dos veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. Se representa por T.

Frecuencia es el número de oscilaciones que la partícula realiza en la unidad de tiempo. Se representa por N ó f y se mide en s-1, vibraciones/s, ciclos/s o hertzios.

El período y la frecuencia se relacionan de la siguiente manera

f = 1/T    

 

m.a.s. cinemática del m.a.s. Representación gráfica Dinámica del m.a.s. Energía en el m.a.s. Enlaces